構造力学の計算問題は、手順どおりに進めれば必ず答えが出る得点源です。 使う道具は「つり合いの式」だけ。この記事では図を使わず、梁の上の位置を「左の支点Aから何m」という文章で表して解いていきます。
道具はつり合いの3式
止まっている構造物では、次の3つが必ず成り立ちます。
| 式 | 意味 |
|---|---|
| ΣX ＝ 0 | 水平方向の力の合計が0 |
| ΣY ＝ 0 | 鉛直方向の力の合計が0（上向きの反力の合計 ＝ 下向きの荷重の合計） |
| ΣM ＝ 0 | どの点のまわりでも、モーメント（力 × 距離）の合計が0 |
支点の種類
| 支点 | 生じる反力 | 反力の数 |
|---|---|---|
| ローラー（移動端） | 鉛直反力のみ | 1 |
| ピン（回転端） | 鉛直反力・水平反力 | 2 |
| 固定端 | 鉛直反力・水平反力・モーメント反力 | 3 |
単純梁は、片方がピン、もう片方がローラーの梁です。 鉛直な荷重だけなら水平反力は0なので、未知数は左右の鉛直反力 RA・RB の2つだけになります。
反力の求め方（手順）
- 片方の支点（例えばA）のまわりでΣM＝0を立てる。Aを通る力はモーメントが0なので、未知数がRBだけになる
- RBを求める
- ΣY＝0から、RA ＝ 荷重の合計 − RB
例題1 集中荷重が1つ
長さ6mの単純梁で、左の支点Aから2mの位置に、下向きの集中荷重12kNが作用している。
反力
- Aのまわりのモーメント：RB × 6 ＝ 12 × 2 → RB ＝ 4kN
- ΣY＝0：RA ＝ 12 − 4 ＝ 8kN
荷重に近い支点ほど反力が大きいことを確かめておきましょう（Aは荷重から2m、Bは4m）。
曲げモーメント
ある点の曲げモーメントは、その点より左側（または右側）の力 × 距離の合計です。
| 点（Aからの距離） | 左側から計算 | 曲げモーメント |
|---|---|---|
| 0m（A） | — | 0 |
| 1m | 8 × 1 | 8kN·m |
| 2m（荷重点） | 8 × 2 | 16kN·m（最大） |
| 4m | 8 × 4 − 12 × 2 | 8kN·m |
| 6m（B） | 8 × 6 − 12 × 4 | 0 |
曲げモーメントは支点で0、荷重点で最大、その間は直線的に変わります。 公式で書くと、支点Aから a、支点Bから b の位置に荷重Pがあるとき、最大曲げモーメントは P × a × b ÷ L（12 × 2 × 4 ÷ 6 ＝ 16）です。 荷重が中央にあれば a ＝ b ＝ L/2 なので、PL/4 になります。
例題2 集中荷重が2つ
長さ8mの単純梁で、Aから2mの位置に6kN、Aから6mの位置に4kNの下向きの集中荷重が作用している。
反力
- Aのまわり：RB × 8 ＝ 6 × 2 ＋ 4 × 6 ＝ 36 → RB ＝ 4.5kN
- ΣY＝0：RA ＝ 10 − 4.5 ＝ 5.5kN
曲げモーメント
| 点 | 計算 | 曲げモーメント |
|---|---|---|
| Aから2m（6kNの点） | 左側から 5.5 × 2 | 11kN·m |
| Aから6m（4kNの点） | 右側から 4.5 × 2 | 9kN·m |
左から計算しても 5.5 × 6 − 6 × 4 ＝ 9 で同じ値になります。 計算しやすい側から求めてよいのがポイントです。最大は11kN·mです。
例題3 等分布荷重
長さ6mの単純梁の全長に、1mあたり3kNの等分布荷重が作用している。
等分布荷重は、合計（3 × 6 ＝ 18kN）が中央に集中して作用すると考えて反力を求めます。
- 左右対称なので RA ＝ RB ＝ 9kN
中央（Aから3m）の曲げモーメントは、左側の力で計算します。 左側の等分布荷重は 3 × 3 ＝ 9kN で、その合力は区間の中央（中央点から1.5m）に作用します。
- 9 × 3 − 9 × 1.5 ＝ 27 − 13.5 ＝ 13.5kN·m
公式では wL²/8（3 × 6² ÷ 8 ＝ 13.5）です。 等分布荷重の曲げモーメントは直線ではなく放物線の形で変わり、中央で最大になります。
最大曲げモーメントは「せん断力が0の点」
せん断力は、ある点より左側の力の合計（上向きを正）です。
| 例題 | せん断力の変わり方 | せん断力が0になる点 |
|---|---|---|
| 例題1 | Aから2mまで ＋8、2mを過ぎると 8 − 12 ＝ −4 | 荷重点（2m） |
| 例題3 | Aで ＋9、1mごとに3ずつ減る | 中央（3m） |
せん断力の符号が変わる点で、曲げモーメントが最大になります。 荷重が複雑なときは、まずせん断力が0になる位置を探すと、最大曲げモーメントの位置がわかります。
公式のまとめ
| 梁と荷重 | 反力 | 最大曲げモーメント | 最大の位置 |
|---|---|---|---|
| 単純梁・中央に集中荷重P | 各 P/2 | PL/4 | 中央 |
| 単純梁・任意の位置に集中荷重P | RA ＝ Pb/L、RB ＝ Pa/L | Pab/L | 荷重点 |
| 単純梁・全長に等分布荷重w | 各 wL/2 | wL²/8 | 中央 |
| 片持ち梁・先端に集中荷重P | 固定端で P | PL | 固定端 |
| 片持ち梁・全長に等分布荷重w | 固定端で wL | wL²/2 | 固定端 |
覚え方のコツ
- 反力は「片方の支点でモーメント、残りは足し算」
- 反力は「荷重に近い支点ほど大きい」。答えの検算に使える
- 曲げモーメントは「片側だけ見る、力 × 距離」
- 等分布荷重は「合計を真ん中に置き換える」
- 公式は「集中は4、分布は8」（PL/4、wL²/8）。片持ち梁はそれぞれの4倍（PL、wL²/2）
単位にも注意しましょう。反力は kN、曲げモーメントは kN·m です。 選択肢に単位の違う数値が並ぶこともあるので、式を書くときに単位も一緒に書いておくと安全です。